本博客包含多个文档和书籍的翻译,但有能力者推荐阅读英文原版

高等数学-学习算法/人工智能/大数据的第一步

大数据 Alan 1年前 (2019-05-08) 2427次浏览 0个评论 扫描二维码

集合与运算

集合

集合概念的引入

  • 一个书柜中的书构成一个集合
  • 一间教室里的全体学生构成一个集合
  • 全体实数构成一个集合

集合的概念

集合:具有某种特定性质的事物的总体

组成这个集合的事物称为该集合的元素

\(a \in M, a \notin M\)

\(\in\)表示属于,\(\notin\) 表示不属于

A = {a1,a2, … , an} 列举法

M = {x|x 所具有性质 P} 描述法

例:\(B = \{x|x \in R, x^2 - 1 = 0\}\)  → B = {-1, 1}

数集分类: 

N ---- 自然数集 N ={0,1,2, …, n, …}

Z ---- 整数集     Z = {…, -n ,…, -2, -1, 0, 1, 2…, n,…}

Q ---- 有理数集 Q = {\(p \over q\)|p \(\in\) Z, q \(\in N^+\) 且 p,q 互质}

R ---- 实数集      R = {x|x 是有理数或无理数}

子集:若x \(\in\) A,则必x \(\in\) B,就说 A 是 B 的子集,记作 A \(\subset\) B.。

数集间的关系:N \(\subset\) Z,Z \(\subset\) Q,Q \(\subset\) R

集合相等

集合相等:若A \(\subset\) B,用B \(\subset\) A,就称为集合 A 与 B 相等

例: A = {1, 2}, B = {x|x2 - 3x + 2 = 0},则 A = B

空集

空集:不含任何元素的集合称为空集,记作\(\varnothing\)

例:{x|x \(\in\) R, x2 + 1 = 0} = \(\varnothing\)

规定 空集是任何集合的子集

集合的运算

并集

并集:设 A 和 B是两个集合,由所有属于 A 或者属于 B的元素组成的集合,称为 A 与 B 的并集,记作 A \(\cup\) B

A\(\cup\)B = {x| \(\in\)A或x\(\in\)B}

交集

交集:设 A 和 B是两个集合,由所有既属于 A 又属于 B的元素组成的集合,称为 A 与 B 的交集,记作 A \(\cap\) B

A\(\cap\)B = {x| \(\in\)A且x\(\in\)B}

差集

差集:设 A 和 B是两个集合,由所有属于 A 而不属于 B的元素组成的集合,称为 A 与 B 的差集,记作 A\B,即

A\B = {x| \(\in\)A且x\(\notin\)B}

高等数学-学习算法/人工智能/大数据的第一步

全集和补集

全集:我们研究某个问题限定在一个大的集合 I 中进行,所研究的其他集合 A 都是 I的子集,我们称集合 I 为全集。

补集:I/A 为 A 的补集,记作 Ac

例:A = {x|0 < x ≤ 1}的补集是Ac = {x|x ≤ 0或 x > 1}

高等数学-学习算法/人工智能/大数据的第一步区间与邻域

区间

区间:是指介于两个实数之间的全体实数。这两个实数叫做区间的端点。

\(\forall\)a,b \(\in\) R,且 a < b

{x|a < x < b},称为开区间。记作(a,b)

{x|a ≤ x ≤ b},称为闭区间。记作[a,b]

{x|a ≤ x < b},称为半开区间。记作[a,b)

{x|a < x ≤ b},称为半开区间。记作(a,b]

无限区间

[a,+∞) = {x|a ≤ x}                (-∞,b) = {x, x < b}

注:全体实数的集合 R 可以记作(-∞, +∞)

邻域

领域:设δ是任一正数,则开区间(a - δ, a + δ)就是 a 的一个邻域,这个邻域称为点 a 的δ邻域,记作 U(a, δ),即

U(a, δ) = {x|a - δ < x < a + δ}

点 a 称为这个邻域的中心,δ称为这个邻域的半径。

高等数学-学习算法/人工智能/大数据的第一步由于 a - δ < x < a + δ ⇔ |x - a| < δ

因此 U(a, δ) = {x|a - δ < x < a + δ} ⇔ U(a, δ) = {x||x - a| < δ}

U(a, δ)表示与点 a 距离小于δ的一切 x 的全体

  • 去心邻域:Uδ(a) = {x|0 < |x - a| < δ}
  • 左δ邻域:(a-δ, a)
  • 右δ邻域:(a, a+δ)

机器学习中集合的应用

  • 实例的集合
  • 候选假设的集合
  • 训练样例的集合

映射与函数

映射

映射的定义

定义:

  • 设 X, Y 是两个非空集合,如果存在一个法则 f
  • 使得对 X 中每个元素 x,按法则 f,
  • 在 Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应,
  • 则称 f 为从 X 到 Y 的映射,记作:f:X → Y
  • 无素 y 称为 x 的像,元素 x 称为元素y 的一个原像。

定义域:集合 X称为映射 f 的定义域,记作 Df,即Df = X

值域:X 中所有元素的像组成的集合称为映射 f 的值域,记作Rf 或 f(X),即

Rf  = f(X) = {f(x)|x \(\in\) X}

映射三要素

  • 集合 X,即定义域Df = X
  • 集合 Y,即值域的范围,Rf \(\subset\) Y
  • 对应法则 f,使用每个x \(\in\) X,有唯一确定的 y = f(x)与之对应

注意

  • 对每个 x ∈ X,元素 x 的像y 是唯一
  • 而对每个 y ∈ Rf,元素 y 的原像不一定是唯一
  • 映射 f 的值域Rf是 Y 的一个子集,即Rf \(\subset\) Y,不一定Rf = Y

例题

设 f:R → R,对每个 x ∈ R,f(x) = x2

解:显然,f 是一个映射,f 的定义域Df = R,

值域Rf = {y|y ≥ 0},它是 R 的一个真子集,

对于Rf中的元素y,它的原像不是唯一的。如 y =4的像就有 x = 2和 x = -2两个。

设 f:\([-{\pi\over2},{\pi\over2}]\) → [-1,1],对每个 x ∈ \([-{\pi\over2},{\pi\over2}]\),f(x) = sinx。

解:显然,f 是一个映射,f 的定义域Df = \([-{\pi\over2},{\pi\over2}]\),值域Rf  = [-1,1]。

  • 满射:Rf = Y
  • 单射:∀x1,x2 ∈ X,x1 ≠ x2,有 f(x1) ≠ f(x2)
  • 一一映射:满射+单射

函数的概念

函数的定义

  • 设数集 D \(\subset\) R,则称映射 f: D → R 为定义在 D 上的函数,通常简记为y=f(x), x ∈ D,
  • 其中 x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为定义域,记作Df,即Df = D。

函数的概念

  • 函数值:对于每个x ∈ D,按对应法则 f,总有唯一确定的值 y与之对应,这个值称为函数 f 在 x 处的函数值,记作 f(x)。
  • 函数关系:因变量 y 与自变量 x 之间的这种依赖关系称为函数关系。
  • 值域:函数值 f(x)全体构成的集合称为函数 f 的值域,记作Rf或f(D)。

函数的两要素

  • 定义域对应法则

高等数学-学习算法/人工智能/大数据的第一步函数的定义域

  • 有实际意义背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义确定。
    例:自由落体运行\(s = {1\over2}gt^2, t\in[0,T]\)
  • 抽象的用算式表达的函数,其定义域是自变量所能取的使用算式有意义的一切实数值。
    例:\(y = \sqrt{1-x^2}\) D:[-1,1]
    \(y = {1\over\sqrt{1-x^2}}\)  D:(-1,1)

函数的图形表示方法

  • 坐标平面上的点集{P(x,y)|y = f(x),x ∈ D},称为函数 y=f(x),x ∈ D的图形。

高等数学-学习算法/人工智能/大数据的第一步

特殊函数举例

  • 符号函数
    $$y = sgn\ x = \begin{cases}
    1\ \ \ \ 当 x>0\\
    0\ \ \ \ 当 x=0\\
    -1\ 当 x<0
    \end{cases} $$
  • 取整函数(阶梯曲线)
    y = [x], [x]表示不超 x 的最大整数
  • 取最值函数
    y = max{f(x), g(x)}
    y = min{f(x), g(x)}
  • 分段函数
    在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数
    $$f(x) =\begin{cases}
    2x - 1, x > 0\\
    x^2 - 1, x \leq 0
    \end{cases} $$

高等数学-学习算法/人工智能/大数据的第一步

例题

例 已知函数\(y = f(x) =\begin{cases}
2 \sqrt x,\ 0 \geq x \leq 1\\
1 + x,\ x > 1
\end{cases}\) 求\(f({1\over2})\)及\(f({1\over t})\),求写出定义域及值域。

解: \(f({1\over t})=2\sqrt{1\over2}=\sqrt2\)

\(y = f(x) =\begin{cases}
1 + {1\over t},\ 0 < t < 1\\
{2 \over \sqrt t},\ t \geq 1
\end{cases}\)

定义域:D = [0, +∞)

值域:f(D) = [0, +∞)

函数的特性

函数的有界性

  • 若 X ⊂ D,∃M > 0,∀x ∈ X,有|f(x)| ≤ M 成立,则称函数 f(x)在 X 上有界,否则称无界。

高等数学-学习算法/人工智能/大数据的第一步

高等数学-学习算法/人工智能/大数据的第一步函数的单调增加性

  • 设函数 f(x)的定义域为 D,区间 I ⊂ D,
  • 如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2
  • 当 x1 < x2时,恒有 f(x1) < f(x2),

则称函数 f(x)在区间 I 上是单调增加的。

 

函数的单调减少性高等数学-学习算法/人工智能/大数据的第一步

  • 设函数 f(x)的定义域为 D,区间 I ⊂ D,
  • 如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2
  • 当 x1 < x2时,恒有 f(x1) > f(x2),

则称函数 f(x)在区间 I 上是单调减少的。

高等数学-学习算法/人工智能/大数据的第一步

 

函数的奇偶性

  • 设 D 关于原点对称。
  • 对于∀x ∈ D,有f(-x) = f(x),

则称函数 f(x)为偶函数

 

高等数学-学习算法/人工智能/大数据的第一步

  • 设 D 关于原点对称。
  • 对于∀x ∈ D,有f(-x) = -f(x),

则称函数 f(x)为奇函数

 

函数的周期性

  • 设函数 f(x)的定义域为 D,如果存在一个不为零的数 l,使用对于任一x ∈ D, (x ± l) ∈ D,且 f(x+l) = f(x)恒成立,则称 f(x)为周期函数,l 称为 f(x)的周期。

通常说周期函数的周期是指其最小正周期

初等函数

  • 幂函数 y = xµ(µ是常数)
    高等数学-学习算法/人工智能/大数据的第一步
  • 指数函数 y = ax(a > 0,且 a ≠ 1)
    高等数学-学习算法/人工智能/大数据的第一步
  • 对数函数 y = logax(a > 0且 a ≠ 1),当 a = e 时,记为 y = lnx。
    高等数学-学习算法/人工智能/大数据的第一步

三角函数

  • 正弦函数 y = sin x
    高等数学-学习算法/人工智能/大数据的第一步
  • 余弦函数 y = cos x
    高等数学-学习算法/人工智能/大数据的第一步
  • 正切函数 y = tan x
    高等数学-学习算法/人工智能/大数据的第一步
  • 余切函数 y = cot x
    高等数学-学习算法/人工智能/大数据的第一步

机器学习中的应用

  • 概念学习:从有关某个布尔函数的输入输出训练样例中推断出该布尔函数。
  • 目标概念:Aldo 进行水止上运动的日子,表示为布尔函数 EnjoySport
  • 任务目的:基于某天的各属性,预测 EnjoySport 的值
  • 给定一个样例集 D:每个样例表示为6个属性的集合

 

概念学习

表3-1 目标概念 EnjoySport 的训练样例

ExampleSkyAirTempHumidityWindWaterForecastEnjoySport
1SunnyWarmNormalStrongWarmSameYes
2SunnyWarmHighStrongWarmSameYes
3RainyColdHighStrongWarmChangeNo
4RainyWarmHighStrongCoolChangeYes
  • 采取何种形式表示假设(目标函数的表示)
  • 一个简单的形式,实例的各属性约束的合取式
  • 令每个假设为6个约束(或变量)的向量,每个约束对应一个属性可取值范围,为
    • ?任意本属性可接受的值
    • 明确指定的属性值(如 AirTemp 中的 warm)
    • ø不接受任何值

随堂例题

假设的例子

  • 为判定 Aldo 只在寒冷和潮湿的日子进行水上运动:
    <?,Cold,High,?,?,?>
  • 最一般的假设是每一天都是正例,<?,?,?,?,?,?>
  • 最特殊的假设是每一天都是反例,<ø,ø,ø,ø,ø,ø>

 

概念学习任务描述

  • 实例的集合
  • 实例集合上的目标函数
  • 候选假设的集合
  • 训练样例的集合

 

EnjoySport 概念学习任务

实例集 X:可能的日子,每个日子由下面的属性描述

  • Sky:可取值为 Sunny, Cloudy, Rainy
  • AirTemp:可取值为 Warm 和 Cold
  • Humidity:可取值为 Normal 和 High
  • Wind:可取值为 Strong 和 Weak
  • Water:可聚会为 Warm 和 Cool
  • Forecast:可取值为 Same 和 Change

目标概念

  • 目标概念 c:待学习的目标概念或函数(target concept),记作 c,一般来说 c 可以是定义在实例集 X 上的任意布尔函数,即 c:X → {0,1}
  • 此例为 EnjoySport:x → {0,1}
  • EnjoySport=Yes,c(x)=1
  • EnjoySport=No,c(x)=0

 

训练样例集合

  • 训练样例集合 D:每个样例 X 中的一个实例 x 以及它的目标概念值 c(x)
  • 目标函数的正例(positive example):c(x) = 1
  • 目标函数的反例(negative example):c(x) = 0
  • 描述训练样例的方式:序偶< x, c(x) >

 

假设集

  • 假设集 H:每个假设描述为六个属性 Sky、AirTemp、Humidity、Wind、Water 和 Forecase的值约束的合取。
  • 求解:H 中的一般假设 h,使得对于 X 中的任意 x,有 h(x) = c(x)

数列极限

数列与数列极限

割圆术

“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”

-刘徽

利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法,是极限思想在几何学上的应用!

    • 正六边形的面积 A1
    • 正十二边形的面积 A2
      … …
    • 正6×2n-1形的面积 An

A1,A2,A3,…,An,…  → S

截杖问题

 

收敛数列的性质

随堂练习

函数极限

函数极限概念

函数极限例题与单侧极限

函数极限的性质

章总结

随堂练习

无穷小与无穷大

无穷小

无穷大

章总结

随堂练习

 

极限运算

极限运算法则

极限运算法则(例题)

极限存在准则

无穷小的比较

章总结

随堂练习

 

函数的连续性与间断点

函数的连续性

函数的第一类间断点

函数的第二类间断点

章总结

随堂例题

 

导数与微分

导数的概念

导数的概念(幂函数求导-单侧导数-切线与法线方程)

函数的可导性与连续性

导数小结

 

高等数学-学习算法/人工智能/大数据的第一步

函数的求导法则

复合函数的求导法则

常数和基本初等函数求导公式

高阶导数

高阶导数的运算法则

隐函数的导数

幂指函数求导

由参数方程确定的函数

函数的微分

微分运算法

 

微分中值定理与导数的应用

微分中值定理——罗尔定理

微分中值定理——拉格朗日中值定理

微分中值定理——柯西中值定理

洛必达法则00型未定式

洛必达法则——其他未定式

泰勒公式——泰勒中值定理

泰勒公式——麦克劳林公式

函数的单调性

曲线的凹凸性

函数极值的概念

函数极值的求法

函数的最大值最小值

函数图形的描绘

 

Credit:慕课网

喜欢 (1)
[]
分享 (0)
发表我的评论
取消评论

表情 贴图 加粗 删除线 居中 斜体 签到

Hi,您需要填写昵称和邮箱!

  • 昵称 (必填)
  • 邮箱 (必填)
  • 网址